だがbut, however, (and) yet, nevertheless, still, for all that

今日(きょう)は私(わたし)の誕生(たんじょう)日(び)だが誰(だれ)もそれを覚(おぼ)えていなかった。

Today is my birthday, but no one remembered it.

明日(あした)は家族(かぞく)で海(うみ)に行(い)く予定(よてい)だ。だが、雨(あめ)の予報(よほう)らしい。

I am planning to go to the beach with my family tomorrow. However, I hear rain is in the forecast.

結論(けつろん)から言(い)うと実験(じっけん)は失敗(しっぱい)した。だが手応(てごた)えは十分(じゅうぶん)にあった。

The experiment was a failure. However, the response was satisfactory.

彼(かれ)はとても素敵(すてき)な人(ひと)だが私(わたし)にとってはあまり魅力(みりょく)的(てき)ではありません。

He is a very nice man but not very attractive to me.

なるほど…つまり彼女(かのじょ)は僕(ぼく)のことが好(す)きでは無(な)いって事(こと)か。だが諦(あきら)めないぞ！

I see...that means she doesn't like me. But I'm not giving up!