Structure
お + Verbe[base]+ する
ご(1) + [Verbe]する + する
(1) お, limité aux verbes [する] comme : 電話する、勉強する、散歩する
Détails
Polite
À propos de お〜する
お〜する provient d'une forme de politesse en japonais appelée langage humble. Ce type de langage est utilisé pour parler de soi-même et de ses actions. Elle s'oppose au langage honorifique, qui se réfère exclusivement à l'interlocuteur et à ses actions. お〜する est presque identique à お~になる, dans le sens où il a le simplement le même sens que する.
お〜する est régulièrement utilisé avec des mots d'origine japonaise, tandis que ご~する sera utilisé avec des mots d'origine chinoise. Le する dans ce composé s'attache directement à la base connective de presque n’importe quel verbe.
Attention
Bien que le する de cette structure s'attache directement à la base connective des verbes, cela ne signifie pas que les verbes en する deviendront しする. Dans le cas des verbes en する, il suffit de changer le préfixe en ご.
Dans de rares cas, お peut être utilisé à la place de ご, lorsqu'il est attaché à des mots d'origine chinoise. Il n'y a pas de règle spécifique pour cela, et ils doivent être mémorisés au cas par cas.
Heureusement, les mots d'origine chinoise qui utilisent お au lieu de ご sont des verbes extrêmement courants. Cela signifie que vous serez exposé à la plupart très rapidement. Tous les autres verbes peuvent être supposés utiliser ご.
Le saviez-vous ?
De la même manière que お~になる est une variation plus courante de なさる (tous deux langage honorifique), お〜する est une variation plus courante de いたす (tous deux langage humble).
En lien
Exemples
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ドアをお閉めします。
Je vais humblement fermer la porte.
お任せします。
Je vais humblement vous laisser décider.
先生の分もお取りします。
Je vais humblement prendre la part du professeur.
あなたの分もお作りします。
Je vais aussi humblement préparer votre part.
これを彼にお渡ししてください。
Veuillez humblement lui remettre ceci.
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お〜する – Discussion Grammaire
Réponses les plus récentes (20 au total)

TheA3ther
As others in the thread have stated, I think the two example sentences in this grammar point are incorrect, but for a different reason. The grammar itself is fine, but they don’t use the grammar point that they’re examples of. At least, that’s what I assume is happening.
In the sentence:
ご注文する時はこちらのベルを押してください。
What I believe is happening is that the speaker is referring to the customer’s order, which is why the prefix ご is used. One main use of ご and お is to respectfully describe the subject’s actions. This is why the phrase in the sentence isn’t translated as “humbly order” but rather “order” with the ご prefix for respect.
Same thing happens to the other sentence:
ご登録する方はこちらをクリックしてください。
Here, ご登録 is referring to the actions of those who will register, hence the prefix. Again, this is just what I assume is happening here, would love to be corrected on this if wrong.

rtg142857
I also have Brian’s question. I answered the これを彼にお渡ししてください prompt as これを彼にお渡しになってください because I figured that the 渡す was the action of the listener, and was under the impression that お~になる is used for the listener’s actions; it was marked as wrong, and I’m not sure what makes that wrong/お〜する correct in this case.

casual
I think Brian’s reading is correct.
これを彼にお渡ししてください
in this situation お~する indicates that 彼 is honored, and the listener is comparatively humbled. ください indicates speaker’s politeness to listener. For example, the speaker and the listener are colleagues in the same company, and 彼 is their customer.
彼 > listener >= speaker
With お~になる, in principle it would be the other way around, the listener is honored, and both speaker and 彼 are comparatively humbled.
listener > 彼 ≈ speaker